scale平均律と純正律::音階の周波数比

和声学とかコード理論をやり始めると、基になっている音階自体の成り立ち、つまり周波数的にどのような並びなのか気になります。

細かく言えば、西洋音階（ドレミファ・・・）だけでも実は色々な調律法（といっても調律師が使うテクニックの事じゃなくて、各音の周波数比のこと）があるようですが、ここでは代表的な調律法（音律）である平均律と純正律を中心に書きます。

平均律

まずは現代人が主に使っている「平均律」です。ピアノなどの鍵盤楽器（電子楽器も）やギターなどのフレット付きの弦楽器は平均律でチューニングされています。

では、平均律の周波数比について見て行きましょう。

作り方はまず、オクターブ（C－C'）は1：2の周波数比とします。この音程（ユニゾン）当然よく調和するのですが、調和しすぎて２つの音とは見なされません。

さて、平均律ではこのオクターブを12等分してしまい、その１個分を半音とします。

ここで注意して欲しいのは、等間隔に聞こえる音程は周波数の「差」が一定なのではなく、「比」が一定であるということです。つまり12等分とは、12回かけたら2になるような比率です。という事は半音＝2^1/12です。

特徴と弱点

明らかなのは、どの音程もこの半音の整数個分ですから、度数が同じなら全く同じ音程と言う事です。その結果、どんな調で演奏しても音同士の相対関係は全く同じ。完全な平行移動が出来るという訳です。

反面、オクターブ以外はどの音程も簡単な整数比にはならないので、和音が若干にごる事になります。具体的には後述の表を見てください。

純正律

平均律が一般的になる（19世紀？）以前は、ある音程が完全に協和するような音律が用いられました（「純正」とは「音程が簡単な周波数比である」と言う意味）。

どの音程を「純正」にするかによって、様々な音律が存在したようですが、ここではその代表的な音律を紹介します。正式には「ツァルリーノ音階」と言いますが、一般的に純正律というとこの音律をさすようなので、単に「純正律」と呼ぶ事にします。

まずオクターブの関係C-C'は、平均律と同じ1：2です。

次に、Cから2：3で上がった音がGとします。逆にC’から2：3で下がった音をFとします。（いわゆる完全５度）

そこでFとGの比率を計算してみると、8：9になります。案外すっきりした比率なので、とりあえずこれを２度（全音）の関係としておきます。また、C-F間を計算すると3：4、同様にG-C'間も3：4、これを４度とします。

次は、C-E間を4：5とします。長３度の完成です。さらに、C-Dは出来た全音8：9とします。じゃあ結果的に隣のD-Eはどうなったか計算すると9：10です。同じ全音なのにC-Dの8：9とは微妙に違いますね。純正律では8：9の大全音と9：10の小全音が存在するのです。

また、E-F間（つまり半音）を計算してみると15：16となります。でも、この半音は２個足し合わせても（２乗しても）は大全音にも小全音にもなりません。つまり、純正律における半音は全音の半分ではなく、「半端な音程」くらいの意味でしょうか。よって平均律では、例えばC♯とD♭は同じ音ですが、純正律では違う音になります。

さて、残るはAとB。そこで、Gから小全音上がった音をA。Aから大全音あがった音をBとします。ようやく完成しました！ちなみに、B-C'を計算すると15：16で先ほどの半音と同じです。めでたしめでたし。

長所と短所

ごらんのように、純正律は見事に整数比の関係で成り立つ音階ですので、当然綺麗にハモリます。ところが、そうでない音程も存在するのです。

さっきC-GやF-C'は完全５度で2：3と書きましたが、同じく完全５度のD-Aを見てください。周波数比を計算すると27：40と言う複雑な数比になりました。

なぜ同じ５度で差が生まれるかというと、C-G間をC-D-E-F-Gにばらして考えると、大全音＋小全音＋半音＋大全音で構成されています。しかし、D-A間は小全音＋半音＋大全音＋小全音なので、大全音が一個少ない代わりに小全音がそれに置き換わっているのです。

このD-A間の「少し小さめの5度」は聴いてはっきり判るほど濁ります。平均律の5度のような微妙な濁りではありません。つまり、純正律と言っても、基準の音（ここではC)と他の音との関係が純正なんであって、組み合わせによっては非常に濁った音程が出来てしまうと言う事です。

従って、純正律では転調すると無理が生じます。音が等間隔に並んでいないのだから、スタート地点が違えば（調が違えば）当然音の並びも違ってしまいます。

また、純正律で鍵盤楽器を作ろうとすると、前述のようにC♯とD♭は違う音なので、CとBの間に二つ鍵盤が要ります。そん な黒鍵が二つに分かれたような鍵盤楽器を実際に作ってしまった人がいましたが、これを弾きこなせる人はまず居ないでしょう。

平均律と純正律の数値比較

それでは実際の周波数を分数じゃなくて数値で比較してみましょう。

▲周波数比較（C=１とする）

左の表をグラフ化。本来、ミ-ファ間とシ－ド間は半音なので横軸を半分の幅にすべき。そうすれば、平均律の点は1直線に並ぶ。

両者を比較すると、C-E間の長3度がかなり違います。平均律に慣れてしまうとあまり気になりませんが、純正の長3度を聞くと「おお、美しい」となります。

ただ4度（C-F)や5度（C-G）では両者殆ど変りませんし（グラフでは重なってしまっています）実際に音を聞いても微妙と言えば微妙。つまり、平均律 の和音が濁ると言っても、おおよそ許容範囲といえるでしょう。少なくとも純正律のG-Aのように不快ではありません。

また、音階で聴くと純正律のAが異様に低いと感じるでしょう。まあ、平均律に慣れているからだと言えばそれまでですが、メロディックな観点からは、等間隔の平均律の方が美しいような気がします。

その他の音律

平均律が確立する以前は皆純正律だったかというと、そうではありません。バッハの時代から19世紀位までは、不等分平均律と呼ばれる、純正な音程を一部残しつつも、転調対応できるようにある程度均した音律が使われていました。代表的ものに、『中全音律』と『ヴェルクマイスター第３法』という音律がありますが、ここでは説明は割愛します。

このように殆どのクラシック音楽は、純正律のような完全な等比数列ではないため、「調性によって曲の表情が微妙に違う」と言われています。

音律と楽器の種類

現在は平均律が使われていると書きましたが、純正律の楽器もあります。

まず、バイオリンのようにフレットがない弦楽器は演奏者が自由に音の高さを変えられます（弦と弦の関係は固定されますが）。よって、どっちの音律もOKなんで すが、純正律で演奏するようです。バイオリニストはピアノの音程に違和感を覚えるようですし、優れたバイオリニストはC♯とB♭の違いをきちんと弾き分け られると言います。聴衆がそれを聞き分けられるかどうかは別問題ですが。

他に、金管楽器はその構造上、５度が純正です。金管楽器ではピストンを何も押さない状態で、ド-ソ-ド-ソ‐ド・・・の音程を唇の緊張度で弾き分けます。これは楽器の固有振動数の整数倍の音が出ている訳ですから、まさしく「純正」の5度です。

純正律という事は、そのままでは転調は出来ません。大抵の金管楽器はB♭調ですが、それ以外の調の曲を演奏する時はどうするのでしょう？実は管の一部が延び縮み出来る（トロンボーンのような）スライドによって、音高を微妙に調整ながら演奏しているそうです。まあ、僕の中学時代のブラスバンドでは誰一人そ んなことは気にしてませんでしたが。

ハモルとはどういう状態か？

これまで「2つの音の周波数比が単純であるほど良く調和する＝美しい」という前提で書いてきましたが、実はそのような単純な話では無いのです。

数学的には整数比の音程からほんの僅かでもずれると（僅かであればあるほど）、たちまち超複雑な比率になります。しかし、人間が調律したり演奏する音程常に完璧なんてありえないですよね。そうすると、生演奏は音が強烈に濁ったり唸ったりする筈ですが、実際にはそんなことは起き ません。

これはどういうことかというと、通常楽器の音は様々な倍音（周波数成分）が含まれているので、それらが協和して全体的に馴染んでしまうと言う説が有力のようです。

さらに、ピアノなどは音がすぐ減衰し、その過程で倍音も急激に変化するので、濁りが目立たない。一方、弦楽器や管楽器などで長く伸ばす音は大抵ビブラートをかける（周波数を変化させる）ので、やはりごまかせると言う訳です。

逆に言えば、シンセなどでサインカーブを作ってコードを演奏させると、純正でない音程に対する許容度は相当シビアになるはずです。